1.2 একটি m ভরের ব্লক টেবিলের ওপর স্থিরাবস্থায় রাখা আছে। ব্লক ও টেবিলের মধ্যে ঘর্ষণ গুণাঙ্ক μ । ব্লকটিতে সর্বনিম্ন যে বলের জন্য গতিশীল হবে তা হল- (A) μmg (B) \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}} (C) mg (D) কোনোটিই নয়
=>
স্থির বেগে থাকা অবস্থায় R+Fsin\theta=mg or, R=mg-Fsin\theta এবং
Fcos\theta=f
or, Fcos\theta=\mu R
or, Fcos\theta=\mu (mg-Fsin\theta)
or, Fcos\theta+\mu Fsin\theta=\mu mg
or, F(cos\theta+\mu sin\theta)=\mu mg
or, F=\frac{\mu mg}{cos\theta+\mu sin\theta}
F সর্বনিম্ন হবে যদি K=cos\theta+\mu sin\theta সর্বোচ্চ হয়।
এখন, \frac{dK}{d\theta}=0
or, -sin\theta+\mu cos\theta=0
or, sin\theta=\mu cos\theta.........(i)
or, tan\theta=\mu ....... (ii)
∴ F_{min}=\frac{\mu mg}{cos\theta+\mu sin\theta}
or, F_{min}=\frac{\mu mg}{cos\theta+\mu \mu cos\theta} [(i) নং সমীকরণ থেকে sin\theta এর মান বসাই]
or, F_{min}=\frac{\mu mg}{cos\theta(1+\mu^2)}
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই
tan\theta=\mu
or, tan^2\theta=\mu^2
or, 1+tan^2\theta=1+\mu^2
or, sec^2\theta=1+\mu^2
or, sec\theta=\sqrt{1+\mu^2}
or, cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}
or, cos\theta(1+\mu^2)=\frac{(1+\mu^2)}{\sqrt{1+\mu^2}}=\sqrt{1+\mu^2}
∴ F_{min}=\frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}
উত্তর -(B) \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}
1.5 একটি পতঙ্গ একটি অর্ধগোলকের তল বরাবর খুব ধীরে 1 cm উচ্চতায় উঠতে পারে। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ 5 cm এবং পতা অর্ধগোলকের ঘর্ষণ গুণাঙ্ক μ হলে —(A) \mu \geq \frac{3}{4} (B) \mu \geq \frac{3}{5}(C) \mu \geq \frac{4}{5}, (D) কোনোটিই নয়
=>
F_s=\mu\ R
or, mgsin\theta=\mu\ mgcos\theta
or, tan\theta=\mu
আবার, AB=\sqrt{{OB}^2-{OA}^2}= \sqrt{5^2-4^2}= 3
\therefore\mu=tan\theta=\frac{AB}{OA}=\frac{3}{4}
3.2 L দৈর্ঘ্যের একটি চেন টেবিলের ওপর রাখা আছে। তার দৈর্ঘ্যের l অংশ টেবিলের বাইরে ঝুলছে। টেবিল ও চেনের মধ্যে ঘর্ষণ গুণাঙ্ক μ হলে, l -এর সর্বোচ্চ মান কত হবে? Ans: \frac{\mu L}{1+\mu}
=>
চেনের একক দৈর্ঘ্যের ভর m।
ঝুলন্ত l অংশের ওজন mlg=F
অবশিষ্ট (L-l) অংশের ওজন (L-l)mg=R
সাম্যাবস্থায়,
F_s = \mu R
কিন্তু, F_s = F
or, \mu R=mlg
or, \mu m(L-l)g=mlg
or, \mu L-\mu l=l
or, \mu L=l+\mu l
or, l(+\mu )= \mu L
or, l=\frac{\mu L}{1+\mu}
3.3 একটি বস্তু । বস্তুটিকে ওই তল বরাবর উপরের দিকে u বেগে প্রক্ষেপ করলে দেখাও যে, বস্তুটি নততল বরাবর \frac{u^2}{4gsin\theta} দূরত্ব পর্যন্ত উঠবে।
=>
ধরি ভর m, ঘর্ষণ বল f, প্রতিক্রিয়া বল R, ঘর্ষণ গুণাঙ্ক \mu ।
সমবেগে নামলে, mgsin\theta= f
or, mg sin\theta= \mu R
or, mgsin\theta= \mu mgcos\theta
or, tan\theta = \mu
ওপরে ওঠার সময় প্রযুক্ত বল
or, ma=mgsin\theta+f
or, ma=mgsin\theta+\mu R
or, ma=mgsin\theta+\mu mg cos\theta
or, a=g(sin\theta+\mu cos\theta)
u বেগে তল বরাবর নিক্ষেপ করলে যদি s দূরত্ব যায় তাহলে,
u^2-2as=0
or, s = \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2g(sin\theta+\mu cos\theta)} =\frac{u^2}{2g(sin\theta+tan\theta cos\theta)}=\frac{u^2}{2g(sin\theta+sin\theta)}=\frac{u^2}{4gsin\theta}
ABC প্রিজমের প্রতিসারক কোণ ∠A। PQ রশ্মি AC তলে ∠
