1.1 একটি নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দু থেকে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে \theta কোণ করে m ভরের একটি বস্তুকে ছোঁড়া হল। t সময়ে বস্তুটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় ওঠে, তখন তার মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কৌণিক নীচের কোন্টির সমানুপাতিক?
\left(A\right)\ u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(B\right)u^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(C\right)\ u^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(D\right)\ u\ এর নির্ভরশীল নয় [WBJEE,22]
কৌণিক ভরবেগ = mvr, এখানে r= সর্বাধিক উচ্চতা = H=\frac{u^2{sin}^2\theta}{2g}, v= অনুভূমিক বেগ (যেহেতু সর্বোচ্চ উচ্চতায় উল্লম্ব বেগ শূন্য) = ucos\theta । কৌণিক ভরবেগ, p=m\times v\times H=mucos\theta\frac{u^2{sin}^2\theta}{2g}=\frac{mu^3cos\theta{sin}^2\theta}{2g}\propto u^3

1.2 0.3\widehat{i} + 0.6\widehat{j} - x\widehat{k} একটি একক ভেক্টর হলে x এর মান কত? A) √0.9     B) √0.75    C) √0.55     D) √0.45
=> একক ভেক্টরের মান 1। সুতরাং, \sqrt{(0.3)^2 + (0.6)^2 + {( - x)}^2} = 1     or, 0.09+0.36+x²=1   or, x²=1-0.9-0.36   or, x=√0.55    (Ans C)
1.3 \overrightarrow{A} = 5\widehat{i} -5\widehat{j} এবং \overrightarrow{B} = 5\widehat{i} +5\widehat{j} ভেক্টর দুটির অন্তর্বর্তী কোণ কত?      A) 0⁰    B) 45⁰    C) 60⁰    D) 90⁰
=> \overrightarrow{A}\ldotp \overrightarrow{B} = ABcos\theta
or, (5\widehat{i} -5\widehat{j}).(5\widehat{i} +5\widehat{j}) = \sqrt{5^2 + ( - 5)^2}\ldotp \sqrt{5^2 + 5^2}\mathrm{\cos}\theta     [θ হল ভেক্টর দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ]
or, 25-25 = 5√2.5√2 cosθ
or, cosθ=0    ∴θ = 90⁰

2.1 প্রাসের কোন্‌ বিন্দুতে বেগ ও ত্বরণ লম্ব অভিমুখে হয়।
=> সর্বোচ্চ বিদুতে। যেখানে প্রাসের বেগের শুধুমাত্র অনুভূমিক উপাংশ থাকে। g সর্বদাই উল্লম্ব বরাবর ক্রিয়া করবে।
2.2 \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}   এর মান কি AB অপেক্ষা বড় হতে পারে? 
=> \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = ABsin\theta\widehat{n}। \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} এর মান বড় হলে ABsin\theta >AB   or, sin\theta >1। যা অসম্ভব। সুতরাং, \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}   এর মান AB অপেক্ষা বড় হতে পারে না।
2.3 \overrightarrow{A} এবং \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} এর মধ্যবর্তী কোণ কত? 
=> 90⁰

3.1 \overrightarrow{{a}_{1}} ও \overrightarrow{{a}_{2}} হল দুটি একক ভেক্টর যারা সমরৈখিক নয়।| \overrightarrow{{a}_{1}} + \overrightarrow{{a}_{2}}| = \sqrt{3} হলে (\overrightarrow{{a}_{1}} - \overrightarrow{{a}_{2}})\ldotp (2\overrightarrow{{a}_{1}} + \overrightarrow{{a}_{2}}) এর মান নির্ণয় কর।
=> \overrightarrow{{a}_{1}} ও \overrightarrow{{a}_{2}} হল দুটি একক ভেক্টর হওয়ায় a₁²= a₂²=1। আবার, | \overrightarrow{{a}_{1}} + \overrightarrow{{a}_{2}}| = \sqrt{3}   or, {{a}_{1}}^{2} + 2{a}_{1}{a}_{2}\mathrm{\cos}\theta + {{a}_{2}}^2=3    or, 1 + 2{\overrightarrow{a}}_{1}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{2} + 1 = 3      or,{\overrightarrow{a}}_{1}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{2} = \frac{1}{2}   আবার, {\overrightarrow{a}}_{2}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{1} = \frac{1}{2}
এখন, ({\overrightarrow{a}}_{1} - {\overrightarrow{a}}_{2})\ldotp (2{\overrightarrow{a}}_{1} + {\overrightarrow{a}}_{2})    = 2{a^2}_{1} - 2{\overrightarrow{a}}_{1}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{2} + {\overrightarrow{a}}_{1}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{2} - {a^2}_{2}    = 2{a^2}_{1} - {\overrightarrow{a}}_{1}\ldotp {\overrightarrow{a}}_{2} - {a^2}_{2}    = 2 \times 1 - \frac{1}{2} - 1    = 1 - \frac{1}{2}    = \frac{1}{2}
3.2 একটি নির্দিষ্ট প্রক্ষেপ u এর জন্য দুটি প্রক্ষেপ কোণ θ এবং (90-θ) এর জন্য প্রাসের অনুভূমিক পাল্লা একই হয়- প্রমাণ করো
=> অনুভূমিক পাল্লা , R= \frac{u^2\mathrm{\sin}2\theta}{g}
θ এর স্থানে (90-θ) হলে নতুন অনুভূমিক পাল্লা , R^'=\frac{u^2\mathrm{\sin}2({90}^0 - \theta)}{g}  = \frac{u^2\mathrm{\sin}({180}^0 - 2\theta)}{g}  = \frac{u^2\mathrm{\sin}2\theta}{g}  = R    (প্রমাণিত)
3.3 একটি প্রাসের প্রক্ষেপ বেগ \overrightarrow{u} = a\widehat{i} + b\widehat{j}। কী শর্তে প্রক্ষেপ বেগ সীমা সর্বাধিক উচ্চতার দ্বিগুণ হবে?
=> প্রক্ষেপ সীমা, R = \frac{u^2\mathrm{\sin}2\theta}{g}
সর্বাধিক উচ্চতা,  H = \frac{u^2{\mathrm{\sin}}^2\theta}{2g}
প্রশ্নানুসারে, R  =  2H
or, \frac{\cancel{u^2}\mathrm{\sin}2\theta}{\cancel{g}}  =   \cancel{2}\frac{\cancel{u^2}{\mathrm{\sin}}^2\theta}{\cancel{2}\cancel{g}}
or, 2\cancel{sin\theta}\ldotp cos\theta = \cancel{sin\theta}\ldotp sin\theta
or,  tanθ= 2   ...... (i)
আবার,
ucosθ=a,   usinθ=b
or, tanθ= b/a
or, b/a = 2   [(i) নং সমী থেকে]
∴ b =2a

3.4 চারটি অসমতলীয় ভেক্টর কি সাম্য প্রতিষ্ঠা করতে পারে?
=> চিত্র অনুযায়ী \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}
আবার, \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OF}    or, \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OF}
এখন \overrightarrow{OF'} = -\overrightarrow{OF}
দেখা যাচ্ছে \overrightarrow{OA},  \overrightarrow{OC} , \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OF'} এরা অসমতলীয়।
তাহলে, \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OF'}
= \overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OF'}=  0
∴ চারটি অসমতলীয় ভেক্টর সাম্য প্রতিষ্ঠা করতে পারে।
3.5 \overrightarrow{A} = \widehat{i} + 4\widehat{j} + \widehat{k} এবং \overrightarrow{B} = 3\widehat{i} - 5\widehat{j} + \widehat{k} ভেক্টর দুটির লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
=> \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}   = (\widehat{i} + 4\widehat{j} + \widehat{k}) + (3\widehat{i} - 5\widehat{j} + \widehat{k})  = 4\widehat{i} -\widehat{j} +2 \widehat{k}
∴ \widehat{C} = \frac{\overrightarrow{C}}{C}= \frac{4\widehat{i} - \widehat{j} + 2\widehat{k}}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{4\widehat{i} - \widehat{j} + 2\widehat{k}}{\sqrt{21}}
3.6 দুটি বলের সমষ্টি 18N এবং এদের লব্ধি 12N। যদি লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলটির সঙ্গে সমকোণে থাকে তাহলে বলদুটির মান কত হবে?
=> বল দুটি \overrightarrow{{F}_{1}} এবং \overrightarrow{{F}_{2}}    ও  \overrightarrow{{F}_{1}} < \overrightarrow{{F}_{2}} হলে
\overrightarrow{{F}_{1}} + \overrightarrow{{F}_{2}} = 18    ...... (i)
তাহলে, \sqrt{{F^2}_{1} + 2{F}_{1}{F}_{2}\mathrm{\cos}\theta + {F^2}_{2}} = 12   ..... (ii)
আবার, \frac{{F}_{2}\mathrm{\sin}\theta}{{F}_{1} + {F}_{2}\mathrm{\cos}\theta} = tan{90}^0
or, {F}_{1} + {F}_{2}\mathrm{\cos}\theta = 0
or, \mathrm{\cos}\theta = - \frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}
(ii) নং সমীকরণের cosθ এর মান বসিয়ে পাই।
{F^2}_{1} + 2{F}_{1}{F}_{2} (- \frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}) + {F^2}_{2} = {12}^2
or, {F^2}_{1} - 2{F^2}_{1}  + {F^2}_{2} = 144
or, {F^2}_{2} -{F^2}_{1} = 144
or, ({F}_{2} +{F}_{1})({F}_{2} -{F}_{1}) = 144
or, 18.({F}_{2} -{F}_{1}) = 144       [(i) সমীকরণ থেকে]
or, ({F}_{2} -{F}_{1}) = 8      ..... (iii)
(i) ও (iii) সমাধান করে পাব F₁=5N ও F₂ =13
3.7 সমমানের দুটি ভেক্টরের লদ্ধি কি ভেক্টরদ্বয়ের একটির সমান হতে পারে?
=>  ধরি \overrightarrow{a} ও \overrightarrow{b} ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি \overrightarrow{c}।
যদি |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=x হয়, তবে
a^2 + 2abcos\theta + b^2 = c^2
or, x^2 + 2xxcos\theta + x^2 = x^2
or, 2x^2cos\theta = - x^2
or, cos\theta = - \frac{1}{2}
or, cos\theta = cos120^0
∴θ = 120⁰  সমমানের দুটি ভেক্টর যদি 120⁰ কোণে অবস্থান করে তাহলে তাদের লব্ধি; ভেক্টরদ্বয়ের একটির সমান হবে।
3.8  \widehat{i} + \widehat{j} বরাবর \overrightarrow{A} = 2\widehat{i} + 3\widehat{j} ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় করো।
=> \overrightarrow{A} = 2\widehat{i} + 3\widehat{j}    ∴ A= \sqrt{2^2 + 3^2} = 5
\widehat{i} + \widehat{j} বরাবর একক ভেক্টর \frac{\widehat{i} + \widehat{j}}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{\widehat{i} + \widehat{j}}{\sqrt{2}}
∴ \widehat{i} + \widehat{j} বরাবর \overrightarrow{A} এর উপাংশ A\frac{\widehat{i} + \widehat{j}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}(\widehat{i} + \widehat{j})