3.1 4 m দীর্ঘ একটি হালকা তক্তার ওপর 60 kg ভরের একটি বোঝা চাপিয়ে দুজন লোক তক্তাটির দু-প্রান্ত ধরে বহন করছে।  অপেক্ষাকৃত দুর্বল লোক্টি 15 kg এর বেশি মাল তুলতে পারে না। তার প্রান্ত থেকে কমপক্ষে কত দূরে বোঝাটি রাখতে হবে?
=> ধরি A প্রান্তে দুর্বল লোক আছে এবং লোকটির থেকে x দূরত্বে B বিন্দুতে বোঝাটি আছে।
C বিন্দুর সাপেক্ষে বলের ভ্রামকের বীজগাণিতিক সমষ্টি শূন্য
\therefore\ -15\times AC+60\times BC=0
or,\ -15\times4+60\times(4-x)=0
or, -60+60\times(4-x)=0
or, -1+4-x=0
or, x=3    Ans
3.2 একটি সুষম দন্ডের ভর 60 kg এবং দৈর্ঘ্য 6 m । একে একটি মসৃণ খাড়া দেয়ালে ঠেকিয়ে অনুভূমিক মেঝের ওপর দাঁড় করানো হয়। দন্ডটির নিম্ন প্রান্ত দেয়াল থেকে কত দূরে থাকেলে সেটি পিছলে পড়ার উপক্রম হবে? দন্ড ও মেঝের ঘর্ষণ গুণাঙ্ক 0.3।
=> দন্ডের ওজন (W) = 60 kg-wt= লম্ব প্রতিক্রিয়া বল ( R ), দন্ডের দৈর্ঘ্য (AB)= 6 m
ঘর্ষণ বল F_s= \mu R= 0.3\times60kg-wt= 18 kg-wt
EC= \frac{AC}{2}=\frac{ABcos\theta}{2}= \frac{6cos\theta}{2}= 3cos\theta
BC = ABsin\theta= 6sin\theta
পিছলে পড়ার জন্য কোনো ঘূর্ণন প্রবণতা সৃষ্টি হবে না। সেজন্য C বিন্দুর সাপেক্ষে বলের ভ্রামকের বীজগাণিতিক সমষ্টি শূন্য।
\therefore F_s\times CB-W\times CE=0
or, 18\times6sin\theta-60\times3sin\theta=0
or, \frac{sin\theta}{cos\theta}=\frac{60\times3}{18\times6}=\frac{5}{3}
or, tan\theta=\frac{5}{3}
or, \theta=\tan^{-1}{\frac{5}{3}}={59}^0
দন্ডটির নিম্ন প্রান্ত দেয়াল থেকে দূরত্ব= AC= 6cos{59}^0=3.09 m (প্রায়)

3.3 m_1 এবং m_2 ভরের (m_1 > m_2) দুটি বস্তুকে একটি হালকা অপ্রসার্য সুতো দিয়ে বেঁধে একটি ঘর্ষণহীন কপিকলের দু-পাশে ঝুলিয়ে দেওয়া হল। বস্তু দুটিকে বাধামুক্ত অবস্থায় ছেড়ে দিলে ওদের ভরকেন্দ্রের ত্বরণ কত হবে?
=> ধরি কপিকল থেকে m_1 এবং m_2 ভরের দূরত্ব যথাক্রমে x_1 ও x_1।
তাহলে কপিকল থেকে ভরকেন্দ্রের দূরত্ব হবে x = \frac{{m}_{1}{x}_{1} + {m}_{2}{x}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}}
∴ ভরকেন্দ্রে বেগ, v = \frac{{m}_{1}\frac{d}{dt}({x}_{1}) + {m}_{2}\frac{d}{dt}({x}_{2})}{{m}_{1} + {m}_{2}} =\frac{{m}_{1}{v}_{1} + {m}_{2}{v}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}}
এবং ভরকেন্দ্রের ত্বরণ, a=\frac{{m}_{1}\frac{d}{dt}({v}_{1}) + {m}_{2}\frac{d}{dt}({v}_{2})}{{m}_{1} + {m}_{2}}=\frac{{m}_{1}{a}_{1} + {m}_{2}{a}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}}
কিন্তু m_1 ভরের ভারী বস্তুটি যে ত্বরণে নীচে নামবে m_2 ভরের হালকা বস্তুটি একই ত্বরণে উপরে উঠবে।
∴ a_1=-a_2 তাহলে, a=\frac{{m}_{1}- {m}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}}a_1.......{\large\textcircled{i}}
সুতার টান T হলে;
m_1 ভরের বস্তুর জন্য m_1a_1=m_1g-T or, T=m_1g-m_1a_1......{\large\textcircled{ii}}
m_2 ভরের বস্তুর জন্য m_2a_1=T-m_2g  or, T=m_2a_1+m_2g.....{\large\textcircled{iii}}
T এর মান তুলনা করে পাই
m_1g-m_1a_1=m_2a_1+m_2g
or, m_1g-m_2g=m_1a_1+m_2a_1
or, a_1=\frac{{m}_{1}- {m}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}}g
{\large\textcircled{i}} নং সমীকরণে a_1 এর মান বসিয়ে পাই
a={(\frac{{m}_{1}- {m}_{2}}{{m}_{1} + {m}_{2}})}^{2}g

3.4 একটি নৌকার ভর M ও দৈর্ঘ্য L। নৌকাটি স্থির জলে ভাসছে। m ভরের এক ব্যক্তি নৌকার এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে হেঁটে গেল। নৌকার সরণ কত?
=> ধরি, ব্যক্তির অবস্থান x=0। 
নৌকা ও ব্যক্তির ভরকেন্দ্র= \frac{M\times\frac{L}{2}+m\times0}{M+m}=\frac{ML}{2\left(M+m\right)}
ব্যক্তি নৌকার ওপর হেঁটে গেলে যদি নৌকা x₁ পরিমাণ সরে তাহলে জলের সাপেক্ষে ব্যক্তির অবস্থান হবে L-x₁
এখন ভরকেন্দ্র x_{cm}=\frac{Mx_1+m(L-x_1)}{M+m}
বাহ্যিক কোনো বল প্রয়োগ না হওয়ায় ভরকেন্দ্রের অবস্থান একই থাকবে।
∴\frac{Mx_1+m(L-x_1)}{M+m}=\frac{ML}{2(M+m)}
or, Mx_1+mL-mx_1=\frac{ML}{2}
or, (M-m)x_1=\frac{ML}{2}-mL
or, x_1=\frac{M-2m}{2(M-m)}L