গোলীয় তলে আলোর প্রতিসরণ-প্রশ্নোত্তর-Class 12

2.1 লেন্সের আলোককেন্দ্রের সংজ্ঞা দাও।
=> লেন্সে আপতিত ও প্রতিসরণের পর নির্গত রশ্মিদ্বয় হয় পরস্পরের সমান্তরাল হয় তাহলে ওই রশ্মি প্রধান অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ওই লেন্সের আলোককেন্দ্র বলে। (চিত্রে O বিন্দু হল আলোককেন্দ্র)

2.2 1.5 প্রতিসরাঙ্কের কাচের একটি উত্তল লেন্স 1.65 প্রতিসরাঙ্কের তরলে ডুবিয়ে রাখলে লেন্সটি একটি অবতল লেন্সের মতো কাজ করে, এর কারণ ব্যাখ্যা করো।
=> লেন্স প্রস্তুতকারক সূত্র- $\frac{1}{f} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1\right)\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
প্রশ্ন অনুযায়ী, $\mu_2 = 1.5$ , $\mu_1 = 1.65$ , $\therefore \frac{\mu_2}{\mu_1} < 1[$
$\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1 < 0$ । আবার, উত্তল লেন্সের ক্ষেত্রে $\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}>0$ হয়।
তাহলে, $\frac{1}{f}<0$ । অর্থাৎ f ঋণাত্মক।
তাই ওই তরলের মধ্যে উত্তল লেন্সটি অবতল লেন্সের মতো আচরণ করবে।

2.3 একটি অবতল লেন্স দ্বারা গঠিত প্রতিবিম্বের প্রকৃতি কীরূপ? কীরূপ দর্পণে অনুরূপ প্রকৃতির প্রতিবিম্ব গঠিত হয়?
=> অবতল লেন্স দ্বারা অসদ্‌ ও সমশীর্ষ প্রতিবিম্ব তৈরি হয়। উত্তল দর্পণে এরূপ প্রতিবিম্ব তৈরি হয়।

2.4 গোলীয় দর্পণের একটি ফোকাস বিন্দু কিন্তু লেন্সের দুটি ফোকাস কেন?
=> গোলীয় দর্পণে আলো এক দিক থেকে দর্পণে আপতিত হয়। তবে, লেন্সে দু'দিক থেকে আপতিত হতে পারে। তাই লেন্সের দুটি ফোকাস বিন্দু।

2.5 Zoom lens কী?
=> এক্ষেত্রে একাধিক লেন্স বিদ্যমান । এর দ্বারা ফোকাস দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে দূরের বা কাছের বস্তুর প্রতিবিম্ব তৈরি করা সম্ভব।

2.6 লেন্সের f-সংখ্যা বলতে কী বোঝায়?
=> কোনো আলোকীয় যন্ত্রের আলো সংগ্রহের ক্ষমতাকে f সংখ্যা বলে।
f সংখ্যা = $\frac{f}{D}$ । যেখানে, f= ফোকাস দৈর্ঘ্য ও D= লেন্সের ব্যাস।

2.7 লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য f হলে প্রমাণ করো, $uv = f^2$ , যেখানে u এবং v যথাক্রমে লেন্সের নিজ নিজ মুখ্য ফোকাস বিন্দু থেকে বস্তু ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব নির্দেশ করেছে।
=>

উত্তল লেন্সে বস্তু P বিন্দুতে এবং Q বিন্দুতে সদ্‌ প্রতিবিম্ব তৈরি হয়েছে।
প্রথম মুখ্য ফোকাস থেকে বস্তুর দূরত্ব $PF_1= x$ , দ্বিতীয় মুখ্য ফোকাস থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব $QF_2=y$ , বস্তু দূরত্ব=u = -(x+f), প্রতিবিম্বের দূরত্ব=v=(y+f)
লেন্সের সূত্রে মান বসাই-
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{y+f}-\frac{1}{-(x+f)}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{x+f+y+f}{(y+f)(x+f)}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{x+y+2f}{xy+xf+yf+f^2}=\frac{1}{f}$
or, $xy+xf+yf+f^2=xf+yf+2f^2$
or, $xy=f^2$

2.8 f ফোকাস দৈর্ঘ্য-এর একটি উত্তল লেন্স একটি পর্দার ওপর কোনো বস্তুর m গুণ বিবর্ধিত প্রতিবিম্ব গঠন করে। বস্তু থেকে পর্দার দূরত্ব x হলে দেখাও যে, $f= \frac{mx}{(1+m)^2}$ ।
=> $\frac{v}{u}=m$ or, v=mu (1)
আবার, u+v=x (2)
or, u+mu=x
or, $u=\frac{x}{1+m}$ এবং $v=\frac{mx}{1+m}$
উত্তল লেন্স দ্বারা গঠিত সদ্‌ প্রতিবিম্বের ক্ষেত্রে-
$\frac{1}{v}-\frac{1}{-u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{u+v}{uv}=\frac{1}{f}$
or, $f=\frac{uv}{u+v}$
or, $f=\frac{uv}{x}$ ((2) নং সমীকরণ ব্যবহার করে।)
or, $f=\frac{x}{1+m}\times \frac{mx}{1+m}\times\frac{1}{x}$ = $\frac{mx}{(1+m)^2}$ (প্রমাণিত)

2.9 লেন্সের ক্ষেত্রে দেখাও যে, অনুদৈর্ঘ্য বিবর্ধন = (রৈখিক বিবর্ধন)²।
=> লেন্সে বস্তু দূরত্ব, প্রতিবিম্ব দূরত্ব ও ফোকাস দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক হল
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
অক্ষ বরাবর বস্তুকে কিছুটা সরালে প্রতিবিম্বেরও কিছুটা সরণ ঘটবে। যদি du পরিমাণ বস্তুর সরণের জন্য dv পরিমাণ প্রতিবিবিম্বের সরণ হয় তাহলে; অনুদৈর্ঘ্য বা অক্ষীয় বিবর্ধন হল
$m^\prime=\frac{dv}{du}$
এখন, $\frac{d}{du}(\frac{1}{v}-\frac{1}{u})=\frac{d}{du}(\frac{1}{f})=0$
or, $-\frac{1}{v^2}\frac{dv}{du}+\frac{1}{u^2}=0$
or, $\frac{dv}{du}=(\frac{v}{u})^2$
or, $m^\prime=m^2$ ( $m=\frac{v}{u}$ =রৈখিক বিবর্ধন)।

2.10 বায়ুতে একটি অবতল লেন্স ও উত্তল দর্পণের ফোকাস দৈর্ঘ্য সমান। উভয়কে জলে নিমজ্জিত করলে কার ফোকাস দৈর্ঘ্য বেশি হবে?
=> দর্পণের ফোকাস দৈর্ঘ্য মাধ্যমের ওপর নির্ভর করে না। দর্পণের বক্রতার উপর নির্ভর করে। তাই দর্পণকে যে মাধ্যমই রাখা হোক না কেন; এর ফোকাসের কোনো পরিবর্তন হয় না।অন্যদিকে, লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্যের সূত্রটা দেখলে বোঝা যায়; এর ফোকাসের মান বক্রতা ব্যাসার্ধের সাথে সাথে মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্কের উপর নির্ভর করে। তার মানে লেন্সকে যদি বায়ু থেকে জলে নিয়ে যাওয়া যায় তাহলে ফোকাসের পরিবর্তন অবশ্যই হবে।
ধরি, ফোকাস দৈর্ঘ্য f।
বায়ুতে লেন্স প্রস্তুতকারক সূত্র- $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_g}{\mu_a} - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
জলে সূত্রটি হবে, $\frac{1}{f_1} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
এখন, $\frac{f}{f_1}=\frac{(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_a} - 1)}$
কিন্তু, $\mu_w>\mu_a$ or, $\frac{\mu_g}{\mu_w}< \frac{\mu_g}{\mu_a}$
or, $(\frac{\mu_g}{\mu_w}-1)< (\frac{\mu_g}{\mu_a}-1)$ or, $\frac{(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_a} - 1)}<1$
∴ $\frac{f}{f_1}<1$ or, $f<f_1$
অর্থাৎ জলে লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য বেশি হবে।

3.1 উত্তল লেন্স দ্বারা কীভাবে বিবর্ধিত প্রতিবিম্ব গঠিত হয়, তা চিত্রের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো, যখন (a) প্রতিবিম্ব সদ, এবং (b) প্রতিবিম্ব অসদ্‌।
=> (a) প্রতিবিম্ব সদ

(b) প্রতিবিম্ব অসদ্‌
3.2 উত্তল লেন্সের ক্ষেত্রে দেখাও যে, যখন কোনো সমান্তরাল রশ্মিগুচ্ছ তার ওপর আপতিত হয়, তখন প্রতিবিম্ব গঠিত হয় ফোকাস তলে।
=>

3.3 উত্তল লেন্সের ক্ষেত্রে, $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ সমীকরণ প্রতিষ্ঠা করো। সেই সূত্র প্রতিষ্ঠা করতে কী অঙ্গীকার করেছে।
=>

প্রধান অক্ষের ওপর অবস্থিত বস্তু AB। প্রধান অক্ষের সমান্তরাল রশ্মি AD লেন্স দ্বারা প্রতিসৃত হয়ে লেন্সের অপর পাশের ফোকাস F দিয়ে যায়। A বিন্দু থেকে নির্গত আরেকটি রশ্মি আলোককেন্দ্র O দিয়ে নির্গত হয় আগের রশ্মিকে A’ বিন্দুতে ছেদ করে। A’ থেকে অক্ষের ওপর অঙ্কিত লম্ব A’B’ হল AB বস্তুর প্রতিবিম্ব।
বস্তু দূরত্ব OB=u, প্রতিবিম্ব দূরত্ব OB’=v, ফোকাস দূরত্ব OF=f
ΔOAB~ΔOA’B’
∴ $\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{OB^\prime}{OB}$ (1)
এবং ΔFOD~ΔFB’A’
∴ $\frac{A^\prime B^\prime}{OD}=\frac{FB^\prime}{FO}$
or, $\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{FB^\prime}{FO}$ [∵OD=AB] (2)
(1) ও (2) তুলনা করে পাই
$\frac{OB^\prime}{OB}=\frac{FB^\prime}{FO}$
or, $\frac{OB^\prime}{OB}=\frac{OB\prime-OF}{FO}$
or, $\frac{v}{-u}=\frac{v-f}{f}$ [চিহ্নের নিয়ম ব্যবহার করে]
or, vf=-uv+uf
or, vf-uf=-uv
or, uf-vf=uv
or, $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ [uvf দিয়ে ভাগ]

3.4 f ফোকাস দূরত্বের একটি উত্তল লেন্সের দ্বারা পর্দার ওপর প্রতিবিম্ব গঠনের ক্ষেত্রে যদি বস্তু ও পর্দার মধ্যে দূরত্ব D-কে স্থির এবং 4f থেকে বেশি দূরত্বে রাখা হয়, তাহলে দেখাও যে, লেন্সের দুটি অবস্থানের জন্য পর্দার ওপর স্পষ্ট প্রতিবিম্ব গঠিত হবে।
=>

$L_1L_2$ লেন্সের ফোকাস দূরত্ব f। AB বস্তু লেন্স থেকে u দূরত্ব আছে এবং পর্দায় v দূরত্বে সদ্‌ প্রতিবিম্ব A’B’ তৈরি হয়েছে।
ধরা যাক, বস্তু ও পর্দার দূরত্ব D।
∴u+v=D              (1)
উত্তল লেন্সে সদ্‌ প্রতিবিম্ব গঠনের সাধারণ সমীকরণ হবে-
$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{D-u}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{D-u+u}{\left(D-u\right)u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{D}{\left(D-u\right)u}=\frac{1}{f}$
or, $Df=Du-u^2$
or, $u^2-Du+Df=0$
or, $u=\frac{D\pm\sqrt{D^2-4Df}}{2}$
u-এর দুটি মান হল, $u_1=\frac{D-\sqrt{D^2-4Df}}{2}$    (2)
এবং   $u_2=\frac{D+\sqrt{D^2-4Df}}{2}$           (3)
অর্থাৎ, বস্তু ও পর্দাকে স্থির রেখে লেন্সের দুটি অবস্থানের জন্য পর্দাতে সদ্‌ প্রতিবিম্ব তৈরি হবে।
লক্ষ্যণীয় বিষয়,
(i) $D^2-4Df\geq0$ হলে $u_1$ ও $u_2$ বাস্তব হবে।
∴ $D^2\geq4Df$    or, $D\geq4f$ হলে পর্দায় প্রতিবিম্ব পাওয়া যাবে।
(ii) $D^2-4Df=0$    or, $D=4f$ হলে $u_1=u_2=\frac{D}{2}$ হবে। অর্থাৎ বস্ত ও পর্দার মধ্যবিন্দুতে লেন্স রাখলে পর্দায় সদ্‌ প্রতিবিম্ব পাওয়া যাবে।
(iii) $D^2\le4Df$    or, $D\le4f$ হলে u অবাস্তব হবে। এক্ষেত্রে কোনো অবস্থাতেই পর্দায় সদ্‌ প্রতিবিম্ব পাওয়া যাবে না।

3.5 একটি সমতল দর্পণের ওপর একটি উত্তল লেন্সকে রাখা হল। যদি একটি বিন্দু আলোক উৎসকে তার ফোকাসে রাখা হয়, তবে তার প্রতিবিম্ব কোথায় গঠিত হবে।
=>
উত্তল লেন্সের ফোকাসে রাখা কোনো বস্তু থেকে নির্গত রশ্মি প্রতিসৃত হয়ে প্রধান অক্ষের সমান্তরাল হবে এবং সমতল দর্পণে লম্বভাবে আপতিত হবে। তাই রশ্মিগুলি দর্পণে লম্বভাবেই প্রতিফলিত হবে এবং উত্তল লেন্সে প্রধান অক্ষের সমান্তরালে আপতিত হবে। অবশেষে উত্তল লেন্স দারা রশ্মিগুলি অভিসারী রশ্মিরূপে প্রতিসৃত হবে এবং ফোকাসে মিলিত হবে। অর্থাৎ বস্তুর স্থানেই প্রতিবিম্ব তৈরি হবে।

3.6 দেখাও যে, কোনো উত্তল লেন্সের ক্ষেত্রে সাধারণ সমীকরণ $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ একটি আয়তকার পরাবৃত্ত সূচিত করে।
=> $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{u-v}{vu}=\frac{1}{f}$
or, $uf-vf=uv$
or, $uf-vf-uv=0$
or, $uf-vf-uv+f^2==f^2$
or, $-uv+uf-vf+f^2=f^2$
or, $-u(v-f)-f(v-f)=f^2$
or, $-(v-f)(u-f)=f^2$
or, $(v-f)(u-f)=-f^2$
u ও v কে চলরাশি ধরলে সমীকরণটি হল একটি আয়তকার পরাবৃত্তের হয়।

3.7 একটি পর্দা থেকে কিছু দূরে একটি বস্তু রাখা আছে। পর্দা ও বস্তুটির মধ্যে একটি উত্তল লেন্স রাখলে দেখা গেল যে, লেন্সটির দুটি ভিন্ন অবস্থানে পর্দায় সদ্‌বিম্ব গঠন হয়। যদি লেন্সের এই দুই অবস্থানের মধ্যে দূরত্ব হয় x এবং এই দুটি অবস্থানে বিবর্ধন যথাক্রমে $m_{1}$ ও $m_{2}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্যের মান $f=\frac{ x}{(m_1 - m_2)}$
=>উত্তল লেন্সে সদ্‌ প্রতিবিম্ব গঠনের সাধারণ সমীকরণ হবে- $\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $1+\frac{v_1}{u_1}=\frac{v_1}{f}$
or, $1+m_1= \frac{v_1}{f}$ (1)
আবার, $1+\frac{v_2}{u_2}=\frac{v_2}{f}$
or, $1+m_2= \frac{v_2}{f}$ (2)
(1)-(2) করে পাই
$m_1-m_2=\frac{v_1}{f}-\frac{v_2}{f}$
or, $f=\frac{v_1-v_2}{m_1-m_2}$
= $\frac{u_2-u_1}{m_1-m_2}$ ∵ $u_1=v_2$ ও $u_2=v_1$
= $\frac{x}{m_1-m_2}$ (প্রমাণিত) ∵ $u_2-u_1=x$

3.8 একটি লক্ষ্যবস্তুকে উত্তল লেন্স থেকে কিছু দূরে রেখে যে সদবিম্ব গঠিত হল, তার বিবর্ধন $m_1$ বস্তুকে দূরত্ব সরিয়ে যে সদবিম্ব গঠিত হল, তার বিবর্ধন $m_2$ । প্রমাণ করো যে, লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য হবে $f =\frac{ x}{\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}}$
=> উত্তল লেন্সে সদ্‌ প্রতিবিম্ব গঠনের সাধারণ সমীকরণ হবে- $\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{u_1}{v_1}+1=\frac{u_1}{f}$
or, $\frac{1}{m_1}+1= \frac{u_1}{f}$ (1)
আবার, $\frac{u_2}{v_2}+1=\frac{u_2}{f}$
or, $\frac{1}{m_2}+1= \frac{u_2}{f}$ (2)
(2)-(1) করে পাই-
$\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}=\frac{u_2}{f}-\frac{u_1}{f}$
or, $\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}=\frac{u_2-u_1}{f}$
or, $\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}=\frac{x}{f}$ ∵ $u_2-u_1=x$
or, $f =\frac{ x}{\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}}$

3.9 দুটি $f_1$ ও $f_2$ ফোকাস দৈর্ঘ্যের পাতলা উত্তল লেন্সকে পরস্পরের সংস্পর্শে রাখলে দেখাও যে, এদের তুল্যাঙ্ক ফোকাস দৈর্ঘ্য f হবে- $\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$
=> $f_1$ ফোকাস দৈর্ঘ্যের জন্য $\frac{1}{v_1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f_1}$ (1)
এখন $f_2$ ফোকাস দৈর্ঘ্যের লেন্সের জন্য $v_1$ দূরত্বটি বস্তু দূরত্ব হিসেবে সূচিত হবে এবং অন্তিম প্রতিবিম্বের দূরত্ব হল v।
∴ $\frac{1}{v}-\frac{1}{v_1}=\frac{1}{f_2}$ (2)
(1)+(2) করে পাই-
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$
or, $\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$ (প্রমাণিত)

3.10 একটি পাতলা অভিসারী লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য f। লেন্স থেকে u দূরত্বে একটি বস্তুকে রাখা হল এবং লেন্স থেকে f দূরত্বে অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সমতল দর্পণ লেন্সের পিছনে রাখা হল। দর্পণে প্রতিফলনের পর এবং তারপর লেন্সের মধ্য দিয়ে প্রতিসরণের পর লেন্স থেকে v দূরত্বে বস্তুটির প্রতিবিম্ব গঠিত হয়। প্রমাণ করো, u + v =2f
=>
চিত্র অনুযায়ী v=f+(f-u) = 2f-u or, v+u=2f (প্রমাণিত)

3.11 একটি পর্দা থেকে D cm দূরে একটি বস্তু রাখা আছে। একটি উত্তল লেন্স পর্দার ওপর বস্তুটির একটি প্রতিবিম্ব গঠন করে। লেন্সটিকে পর্দার দিকে x cm সরালে এটি অপর আর একটি প্রতিবিম্ব গঠন করে। প্রমাণ করো, গঠিত দুটি প্রতিবিম্বের আকারের অনুপাত হয় $(\frac{D + x}{D - x}) ^ 2$
=>ধরি, প্রথম অবস্থানের জন্য বস্তু দূরত্ব ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব যথাক্রমে $u_1$ ও $v_1$ এবং দ্বিতীয় অবস্থানের জন্য বস্তু দূরত্ব ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব যথাক্রমে $u_2$ ও $v_2$ । বস্তুর আকার I এবং প্রথম ও দ্বিতীয় অবস্থানের জন্য প্রতিবিম্বের আকার যথাক্রমে $I_1$ ও $I_2$ ।
প্রথম অবস্থানের জন্য বিবর্ধন $m_1=\frac{I_1}{I}=\frac{v_1}{u_1}$
দ্বিতীয় অবস্থানের জন্য বিবর্ধন $m_2=\frac{I_2}{I}=\frac{v_2}{u_2}$
আবার, $u_1=v_2$ ও $u_2=v_1$
∴ $u_1+v_1=D$
or, $u_1+u_2=D$ (1)
প্রশ্ন অনুযায়ী $u_2-u_1=x$ (2)
(1) ও (2) সমাধান করলে হয়-
$u_2=\frac{D+x}{2}$ এবং $u_1=\frac{D-x}{2}$
∴ $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_1}{I} \times \frac{I}{I_2} = \frac{v_1}{u_1} \times \frac{u_2}{v_2} = (\frac{u_2}{u_1})^2 = \left(\frac{\frac{D + x}{2}}{\frac{D - x}{2}}\right)^2 = (\frac{D + x}{D - x})^2$

3.12 একটি পর্দার মধ্যে একটি উত্তল লেন্স বসানো আছে। লেন্সের দুটি অবস্থানে পর্দার ওপর বস্তুর দুটি সবিস্ব গঠিত হয়। যদি সদবিম্ব দুটির দৈর্ঘ্য $I_1$ এবং $I_2$ এবং বস্তুর দৈর্ঘ্য I হয় তবে প্রমাণ করো যে, $I = \sqrt{I_1 I_2}$
=> ধরি, প্রথম অবস্থানের জন্য বস্তু দূরত্ব ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব যথাক্রমে $u_1$ ও $v_1$ এবং দ্বিতীয় অবস্থানের জন্য বস্তু দূরত্ব ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব যথাক্রমে $u_2$ ও $v_2$
প্রথম অবস্থানের জন্য বিবর্ধন $m_1=\frac{I_1}{I}=\frac{v_1}{u_1}$
দ্বিতীয় অবস্থানের জন্য বিবর্ধন $m_2=\frac{I_2}{I}=\frac{v_2}{u_2}$
তাহলে, $m_1 m_2 = \frac{I_1}{I} \times \frac{I_2}{I} =\frac{v_1}{u_1} \times \frac{v_2}{u_2}=1$ [ ∵ $v_1=u_2$ এবং $v_2=u_1$ ]
or, $\frac{I_1 I_2}{I^2}=1$ or, $I = \sqrt{I_1 I_2}$

3.13 প্রমাণ করো যে, উত্তল লেন্সের দুটি ভিন্ন অবস্থানের জন্য পর্দায় প্রতিবিম্ব গঠিত হলে, লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য $f = \frac{D ^ 2 - x ^ 2}{4D}$ । যেখানে বস্তু ও পর্দার মধ্যে দূরত্ব D এবং লেন্সের দুই অবস্থানের মধ্যে ব্যবধান x।
=>বস্তুর দুটি ভিন্ন অবস্থানের মধ্যে দূরত্ব যথাক্রমে $u_1=\frac{D-\sqrt{D^2-4Df}}{2}$
এবং $u_2=\frac{D+\sqrt{D^2-4Df}}{2}$
∴ $u_2-u_1=x=\sqrt{D^2-4Df}$
or, $x^2=D^2-4Df$
or, $f=\frac{D^2-x^2}{4D}$

3.14 লেন্স নির্মাতার সূত্রটি প্রতিষ্ঠা করো।
=>

LM উত্তল লেন্সের আলোককেন্দ্র O থেকে u দূরত্বে প্রধান অক্ষের A বিন্দুতে একটি বস্তু আছে। বস্তু যে মাধ্যমে আছে তার প্রতিসরাঙ্ক $\mu_1$ ও লেন্সের প্রতিসরাঙ্ক $\mu_2$ থেকে নির্গত আলোকরশ্মি লেন্সের LPM তলের B বিদুতে পৌছায় এবং প্রতিসরণের পর লেন্সের ভিতরে প্রবেশ করে। যদি রশ্মিটি লেন্সের মাধ্যমেই থাকত তাহলে সেটি সোজা গিয়ে প্রধান অক্ষের $D_1$ বিন্দুতে মিলিত হতো। তাহলে $\mu_2$ প্রতিসরাঙ্কবিশিষ্ট লেন্সের মাধ্যমে A বস্তুর প্রতিবিম্ব $D_1$ । $OD_1=v_1$ । LPM তলের বক্রতা ব্যাসার্ধ $OC_1=r_1$
LPM গোলীয় তলে $\frac{\mu_2}{v_1}-\frac{\mu_1}{u}=\frac{\left(\mu_2-\mu_1\right)}{r_1}$
or, $\frac{\mu_2}{v_1}=\frac{\left(\mu_2-\mu_1\right)}{r_1}+\frac{\mu_1}{u}$                  (1)
এবারে, B বিন্দু থেকে নির্গত রশ্মি লেন্সের অপর LQM তলের C বিন্দুতে পৌছায়। সেখানে প্রতিসৃত হবে আবার $\mu_1$ প্রতিসরাঙ্কের মাধ্যমে পৌছায় এবং প্রধান অক্ষের D বিন্দুতে মিলিত হয়। এটিই হল A বিন্দুর অন্তিম প্রতিবিম্ব। এখন প্রতিবিম্বের দূরত OD=v। LQM তলের বক্রতা ব্যাসার্ধ $OC_2=r_2$
       LPM গোলীয় তলে $\frac{\mu_1}{v}-\frac{\mu_2}{v_1}=\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)}{r_2}$
or, $\frac{\mu_2}{v_1}=\frac{\mu_1}{v}-\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)}{r_2}$                     (2)
(1) ও (2) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই-
$\frac{\mu_1}{v}-\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)}{r_2}=\frac{\left(\mu_2-\mu_1\right)}{r_1}+\frac{\mu_1}{u}$
or, $\frac{\mu_1}{v}-\frac{\mu_1}{u}=\frac{\left(\mu_2-\mu_1\right)}{r_1}+\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)}{r_2}$
or, $\mu_1(\frac{1}{v}-\frac{1}{u})=\left(\mu_2-\mu_1\right)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$
or, $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\left(\frac{\mu_2}{\mu_1}-1\right)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$
or, $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\left(\mu-1\right)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$ (3) ( $\because\frac{\mu_2}{\mu_1}=\mu$ )
আবার লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য f হলে,
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ (4)
সমীকরণ (3) ও (4) তুলনা করে পাই
$\frac{1}{f}=\left(\mu-1\right)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$ (5)
এই সমীকরণকে লেন্স নির্মাতার সূত্র বলে।

4.1 10 cm ব্যাসার্ধের একটি কাচের গোলকের পৃষ্ঠে একটি ক্ষুদ্র কালো দাগকে বিপরীত দিক থেকে ব্যাস বরাবর দেখা হচ্ছে। প্রতিবিম্বের অবস্থান ও প্রকৃতি নির্ণয় করো। (কাচের প্রতিসরাঙ্ক 1.5)
=>
বস্তু (কালো দাগ) যেহেতু গোলক পৃষ্ঠে (D বিন্দুতে) অবস্থিত তাই গোলকের বিপরীত পাশে ABC তলে প্রতিসরণ হবে।
প্রতিসারক তলে প্রতিসরণের সূত্র- $\frac{\mu_2}{v}-\frac{\mu_1}{u}=\frac{\mu_2-\mu_1}{r}$
চিত্র অনুযায়ী- r=BO=-10cm, u=BD=-20 cm, μ₁=1.5, μ₂=1
∴ $\frac{1}{v}-\frac{1.5}{-20}=\frac{1-1.5}{-10}$
or, $\frac{1}{v}+\frac{15}{-200}=\frac{-0.5}{-10}$
or, $\frac{1}{v}=\frac{5}{100}-\frac{15}{200}=\frac{10-15}{200}$
or, $\frac{1}{v}=-\frac{1}{40}$ ∴v=-40 cm
প্রতিবিম্বটি অসদ্‌ ও B থেকে 40 cm দূরে হবে।

4.2 একটি উত্তল লেন্সে একটি বস্তুর $\frac{1}{n}$ গুণ বিবর্ধিত প্রতিবিম্ব গঠিত হয়। যদি লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য হিয় তাহলে বস্তু দূরত্ব কত হবে?
=> $\frac{v}{u}=\frac{1}{n}$
$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ [উত্তল লেন্স]
or, $\frac{u}{v}+1=\frac{u}{f}$
or, $n+1=\frac{u}{f}$
or, $u=(n+1)f$

4.3 একটি উত্তল লেন্স বস্তুর পাঁচগুণ বিবর্ধিত সদবিম্ব গঠন করে। বস্তুটিকে লেন্স থেকে আরও 9 cm দূরে সরালে সদবিম্বটির বিবর্ধন দ্বিগুণ হয়। লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য কত?
=> $\frac{v_1}{u_1}=5$ , $\frac{v_2}{u_2}=2$
$u_2-u_1=9$
$\frac{1}{v_1}+\frac{1}{u_1}=\frac{1}{f}$ [উত্তল লেন্সে সদ্‌বিম্ব গঠনের ক্ষেত্রে]
or, $\frac{u_1}{v_1}+1=\frac{u_1}{f}$
or, $\frac{1}{5}+1=\frac{u_1}{f}$
or, $\frac{u_1}{f}=\frac{6}{5}$
আবার, $\frac{1}{v_2}+\frac{1}{u_2}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{u_2}{v_2}+1=\frac{u_2}{f}$
or, $\frac{1}{2}+1=\frac{u_2}{f}$
or, $\frac{u_2}{f}=\frac{3}{2}$
∴ $\frac{u_2}{f}-\frac{u_1}{f}=\frac{3}{2}-\frac{6}{5}$
or, $\frac{u_2-u_1}{f}=\frac{15-12}{10}$
or, $\frac{9}{f}=\frac{3}{10}$
or, $f=\frac{9×10}{3}=30\;cm$

4.4 একটি বাতি, একটি পর্দা থেকে 90 cm দূরে আছে। 20 cm ফোকাস দৈর্ঘ্যের একটি উত্তল লেন্সকে বাতি ও পর্দার মধ্যে কোথায় রাখলে, পর্দায় বাতিটির একটি সবিম্ব গঠিত হবে?
=> D=90 cm, f=20 cm
$u=\frac{D\pm\sqrt{D^2-4Df}}{2}$
= $\frac{90\pm\sqrt{90^2-4×90×20}}{2}$
= $\frac{90\pm\sqrt{8100-7200}}{2}$
= $\frac{90\pm\sqrt{900}}{2}$
= $\frac{90\pm30}{2}$
= $\frac{120}{2}, \frac{60}{2},$ =60, 30

4.5 একটি বিন্দু বস্তু একটি উত্তল লেন্স থেকে 15 cm দূরে অবস্থিত এবং এর প্রতিবিম্ব লেন্সের বিপরীত দিকে 30 cm দূরে গঠিত হয়। একটি অবতল লেন্সকে ওই উত্তল লেন্সের সংস্পর্শে রাখলে প্রতিবিম্বটি লেন্স সমবায় থেকে আরও 30 cm সরে যায়। লেন্স দুটির ফোকাস দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো
=> u=-15 cm, v=+30 cm
উত্তল লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য f হলে $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{f}=\frac{1}{30}-\frac{1}{-15}=$ = $\frac{1+2}{30}$
or, f=10 cm (Ans)
আবার, উত্তল লেন্স ও অবতল লেন্স সমবায়ের তূল্য ফোকাস f' হলে অন্তিম প্রতিবিম্ব দূরত্ব v'=(30+30) cm= 60 cm।
∴ $\frac{1}{v'}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f'}$
or, $\frac{1}{60}-\frac{1}{-15}=\frac{1}{f'}$
or, $\frac{1}{f'}=\frac{1+4}{60}$
∴f'=12 cm
এখন ধরা যাক, অবতল লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য F।
∴ $\frac{1}{f}+\frac{1}{F}=\frac{1}{f'}$
or, $\frac{1}{10}+\frac{1}{F}=\frac{1}{12}$
or, $\frac{1}{F}=\frac{1}{12}-\frac{1}{10}$ = $\frac{5-6}{12}$
or, F=-60 cm (Ans)

4.6 উত্তল লেন্স থেকে একটি বস্তুর দূরত্ব 20 cm। লেন্সের ফোকাস দূরত্ব 15 cm হলে, প্রতিবিম্বের অবস্থান ও প্রকৃতি নির্ণয় করো।
=> u=-20 cm, f=+15 cm
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{v}-\frac{1}{-20}=\frac{1}{15}$
or, $\frac{1}{v}=\frac{1}{15}-\frac{1}{20}=\frac{4-3}{60}$
or, v=+60

4.7 একগুচ্ছ অভিসারী রশ্মি একটি অবতল লেন্সের ভিতর দিয়ে গিয়ে লেন্স থেকে 18 cm দূরে একটি বিন্দুতে মিলিত হল। লেন্স না থাকলে মিলন বিন্দুটি লেন্সের অবস্থানের দিকে 6 cm সরে আসে। লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য কত?
=> প্রতিবিম্ব দূরত্ব (v) =OQ =18 cm =12 cm, বস্তু দূরত্ব (u)= OP = (18-6) cm= 12 cm।
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{18}-\frac{1}{12}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{f}=\frac{2-3}{36}$
∴ f= -36 cm

4.8 একটি উত্তল লেন্স পর্দায় যে সদ্‌বিম্ব গঠন করে, তার বিবর্ধন 3/2। বস্তু ও পর্দার অবস্থান পরিবর্তন না করে লেন্সটিকে 16 cm সরালে পর্দায় আবার স্পষ্ট প্রতিবিম্ব গঠিত হয় এবং এখন বিবর্ধন হয় 2/3 । লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য কত?
=> $m_1=\frac{3}{2}$ , $m_2=\frac{2}{3}$ , x=16 cm।
ফোকাস দৈর্ঘ্য f হলে, f= $\frac{x}{m_1-m_2}$
= $\frac{16}{\frac{3}{2}-\frac{2}{3}}$ = $\frac{16}{\frac{9-4}{6}}$ = $\frac{16×6}{5}$
=19.2 cm।

4.9 একটি লেন্স থেকে 50 cm দূরে লক্ষ্যবস্তু রাখলে অপর পার্শ্বে 200 cm দূরে তার প্রতিবিম্ব গঠিত হয়। লেন্স থেকে লক্ষ্যবস্তুকে 10 cm দূরে সরিয়ে নিলে প্রতিবিম্বের সরণ কত হবে নির্ণয় করো।
=> প্রতিবিম্ব দূরত্ব (v) =+200 cm =12, বস্তু দূরত্ব (u) = -50 cm।
$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{200}-\frac{1}{-50}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{f}=\frac{1+4}{200}$
∴ f= +40 cm। সুতরাং লেন্সটি উত্তল।
এখন, $u_1=-(50+10)$ cm =-60 cm হলে,
$\frac{1}{v_1}-\frac{1}{u_1}=\frac{1}{f}$
or, $\frac{1}{v_1}-\frac{1}{-60}=\frac{1}{40}$
or, $\frac{1}{v_1}=\frac{1}{40}-\frac{1}{60}$
or, $\frac{1}{v_1}=\frac{3-2}{120}$
∴ $v_1=120$ cm
প্রতিবিম্বের সরণ $v-v_1$ =(200-120) cm =80 cm।

4.10 20 cm ফোকাস দৈর্ঘ্যের একটি উত্তল লেন্স এবং 20 cm বক্রতা ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি উত্তল দর্পণ সমাক্ষীয়ভাবে রাখা আছে। উভয়ের মধ্যে ব্যবধান 15 cm। লেন্স থেকে 60 cm দূরে একটি বিন্দু বস্তু রাখা আছে। সমবায়ের দ্বারা চূড়ান্ত প্রতিবিম্বের অবস্থান নির্ণয় করো।
=>

উত্তল লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য $f_1 =+20$ cm
উত্তল দর্পণের বক্রতা ব্যাসার্ধ r=20 cm
উত্তল লেন্সে বস্তুর দূরত্ব $O_1P=u_1=-60$ cm
উত্তল লেন্সে প্রতিবিম্বের দূরত্ব $O_1I_1=v_1$ হলে
$\frac{1}{v_1}-\frac{1}{u_1}=\frac{1}{f_1}$
or, $\frac{1}{v_1}-\frac{1}{-60}=\frac{1}{20}$
or, $\frac{1}{v_1}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{3-1}{60}$
or, $v_1=30$ cm
উত্তল লেন্স ও উত্তল দর্পণের মধ্যে দূরত্ব $O_1 O_2 =15$ cm
তারমানে উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে বস্তু দূরত্ব ( $u_2$ ) হবে-
$O_{2}I_{1}=O_{1}I_{1}-O_{1}O_{2}$ = (30-15) cm = 15 cm; যা অসদ্‌।
উত্তল দর্পণের ফোকাস দৈর্ঘ্য = $f_2 = \frac{20}{2}$ cm =10 cm।
দর্পণের ক্ষেত্রে: $\frac{1}{v_2}+\frac{1}{u_2}=\frac{1}{f_2}$
or, $\frac{1}{v_2}+\frac{1}{+15}=\frac{1}{10}$
or, $\frac{1}{v_2}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{3-2}{30}$
∴ $v_2=30$ cm

4.11 একটি দ্বিউত্তল লেন্সের উপাদানের প্রতিসরাঙ্ক 1.5 এবং প্রত্যেকটি গোলীয় তলের বক্রতা ব্যাসার্ধ 20 cm। লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
=> μ=1.5, $r_1=20 cm$ , $r_2=-20 cm$
লেন্স প্রস্তুতকারক সূত্র- $\frac{1}{f} = (\mu- 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
or, $\frac{1}{f} = (1.5 - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20})$
or, $\frac{1}{f} = 0.5 \times\frac{2}{20}=\frac{1}{2}\times\frac{2}{20}$
∴ f=20 cm

4.12 বায়ুতে একটি কাচের লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য 5 cm । জলে এর ফোকাস দৈর্ঘ্য কত হবে ? ( $\mu_g = 1.51$ , $\mu_w= 1.33$ )
=> লেন্স প্রস্তুতকারক সূত্র- $\frac{1}{f} = (\mu_g- 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
or, $\frac{1}{5} = (1.51- 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
or, $\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}=\frac{1}{5}\times \frac{1}{0.51}$
এখন জলের সাপেক্ষে কাচের প্রতিসরাঙ্ক- ${}_{w}\mu_{g}=\frac{\mu_g}{\mu_w}=\frac{1.51}{1.33}=1.135$
জলে লেন্সটির ফোকাস দৈর্ঘ্য $f_1$ হলে-
$\frac{1}{f_1} = ({}_{w}\mu_{g}- 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
$\;\; \;= (\frac{\mu_g}{\mu_w}- 1)(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$
$\;\; \;= (1.135- 1)\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{0.51}$ ≈0.53
∴ $f_1=0.53^{-1}≈18.89$ cm

4.13 আলোর দুটি বিন্দু প্রভবের মধ্যেকার দূরত্ব 24 cm। 9cm ফোকাস দূরত্বসম্পন্ন একটি উত্তল লেন্স কোথায় রাখলে, দুটি উৎসেরই একইবিন্দুতে প্রতিবিম্ব গঠিত হবে?
=> দুটি উৎসের দূরত্ব $S_1 S_2$ = 24 cm, f= 9 cm।
যদি, একটি প্রতিবিম্ব সদ্‌ ও অপরটি অসদ্‌ হয় তবে দুটি উৎসেরই একইবিন্দুতে প্রতিবিম্ব গঠিত হবে।
$S_1$ বিন্দুর জন্য গঠিত প্রতিবিম্ব সদ্‌ হলে লেন্সটি পর্দা ও $S_1$ -এর মধ্যে থাকবে।
অন্যদিকে, $S_2$ বিন্দুর জন্য গঠিত প্রতিবিম্ব অসদ্‌ হলে লেন্স ও পর্দার মাঝে $S_2$ উৎস থাকবে।
তাহলে চিত্রটি হবে নিম্নরূপ-
ধরি, $S_1$ থেকে লেন্সের দূরত্ব x এবং লেন্স থেকে পর্দার দূরত্ব v যেখানে প্রতিবিম্ব তৈরি হয়েছে।
∴ $\frac{1}{v}-\frac{1}{-x}=\frac{1}{9}$ [যেহেতু প্রতিবিম্ব সদ্‌]
or, $\frac{1}{v}=\frac{1}{9}-\frac{1}{x}$ (1)
আবার, $S_2$ থেকে লেন্সের দূরত্ব (24-x) cm। এর জন্যো প্রতিবিম্বের দূরত্ব হবে v।
∴ $\frac{1}{-v}-\frac{1}{-(24-x)}=\frac{1}{9}$ [যেহেতু প্রতিবিম্ব অসদ্‌]
or, $\frac{1}{v}=\frac{1}{24-x}-\frac{1}{9}$
$\frac{1}{v}$ -এর মান তুলনা করে পাই-
$\frac{1}{9}-\frac{1}{x}=\frac{1}{24-x}-\frac{1}{9}$
or, $\frac{1}{24-x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}$
or, $\frac{x+24-x}{(24-x)x}=\frac{2}{9}$
or, $\frac{12}{24x-x^2}=\frac{1}{9}$
or, $108=24x-x^2$
or, $x^2-24x+108=0$
or, $x^2-18x-6x+108=0$
or, $x(x-18)-6(x-18)=0$
$(x-18)(x-6)=0$
$\begin{array}{cc} or, x - 18 = 0 & | & or, x - 6 = 0 \\ \therefore {\mathrm{x}} = 18 & | & \therefore {\mathrm{x}} = 6 \\ \end{array}$